El análisis combinatorio es un área de la cual se encargan las
matemáticas discretas y se refiere a la construcción de posibles agrupaciones de númerosque permitan satisfacer una condición establecida. Permutaciones
Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser
"333".
Sin repetición: por ejemplo, los tres primeros en una carrera.
No puedes quedar primero y segundo a la vez.
1. Permutaciones con repetición Son las más fáciles de calcular. (n multiplicado 3 veces)
El estudio combinatorio permite el cálculo certero para la extracción
objetiva y aleatoria de muestras en una determinada población y que los
datos sean lo suficientemente relevantes para satisfacer o refutar la
teoría expuesta desde un inicio, en otras palabras, conforma un pilar fundamental en el método científico en el cual se rigen todas las disciplinas científicas en la
actualidad.
Hay dos tipos de permutaciones:
Cuando una cosa tiene n tipos diferentes ... ¡tenemos n opciones cada vez!
Por ejemplo: eligiendo 3 de esas cosas, las permutaciones son:
n × n × n
De manera más general: eligiendo r de algo que tiene n tipos diferentes, las permutaciones son:
n × n × ... (r veces)
(Porque hay n posibilidades para la primera elección,
DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y
así.)
Lo cual es más fácil de escribir usando unexponenteigual ar:
Ejemplo: en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) y eliges 3 de ellos:
donde n es el número de cosas se pueden elegir, y se
escogen r de ellas, se permite que se repitan y el orden
importa.
2. Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones
en cada paso.
Ejemplo: ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra
vez.
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu
siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc.
Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas
todas, solo 3 de ellas, así que sería
solamente:
16 × 15 × 14 = 3,360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de
billar de entre 16.
Sin repetición, nuestras opciones se reducen cada
vez.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos
la "función factorial"
!
La función factorial (símbolo:!)
significa que se multiplican números descendentes.
Ejemplos:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5,040
1! = 1
Nota: ¡en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún
número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas
ecuaciones.
Así que si quieres elegir todas las bolas de
billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si solo quieres elegir 3, tienes que dejar de
multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? ¡Hay un buen
truco... dividimos entre 13!...
Ejemplo: ¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo
premio entre 10 personas?
10!(10−2)! = 10!8! = 3,628,80040,320 = 90
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
Notación
En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras
notaciones como:
P(n,r)
= nPr = nPr = n!(n−r)!
Ejemplos:
P(10,2) = 90
10P2 = 90
10P2 = 90
Combinaciones
También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que
ahora el orden no importa):
Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo
(5,5,5,10,10)
Sin repetición: como números de lotería
(2,14,15,27,30,33)
1. Combinaciones con repetición
En realidad son las más difíciles de explicar, así que
las dejamos para luego.
2. Combinaciones sin repetición
Así es como funcionan las loterías. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los
números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has
ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
imaginemos que el orden sí importa
(permutaciones),
después lo cambiamos para que el
orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos
saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no
nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3.
Las posibilidades son:
El orden importa
El orden no importa
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1
2 3 2 1
1 2 3
Así que las permutaciones son 6 veces más
posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras
"1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta
es:
3!= 3 × 2 × 1 = 6
(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar
de 4!= 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así que solo tenemos que ajustar nuestra fórmula de
permutaciones para reducir por las
maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos
interesa ordenarlos):
n!(n−r)! x 1r! = n!r!(n−r)!
Esta fórmula es tan importante que normalmente se la
escribe con grandes paréntesis, así:
n!r!(n−r)! = (nr)
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y
eliges r de ellas (No se puede repetir, el
orden no importa)
Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin
orden) es:
16!3!(16−3)!
= 16!3! × 13!
= 20,922,789,888,0006 × 6,227,020,800
= 560
Fíjate que la fórmula16!3! × 13! da la misma respuesta que 16!13! × 3!
Entonces, elegir 3 bolas de 16, o elegir 13 bolas de
16, tiene el mismo número de combinaciones:
16!3!(16−3)! = 16!13!(16−13)! = 16!3! × 13! = 560
De hecho, la fórmula es bonita y simétrica:
n!r!(n−r)! = (nr) = (nn−r)
Además, sabiendo que 16!/13! se reduce a 16 × 15 × 14, podemos ahorrar muchos
cálculos haciéndolo de esta manera:
16×15×143×2×1
= 33606
= 560
Triángulo de Pascal
Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de
arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese
valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila
16:
Las permutaciones circulares son diferentes tipos de agrupaciones de todos los
elementos de un conjunto, cuando estos han de ordenarse en
círculos. En este tipo de permutación importa el orden y
no se repiten los elementos.
1- Se toma cualquiera de los cuatro dígitos como punto
de partida en cualquiera de los vértices y se avanza al
vértice siguiente. (es indiferente si se gira en el
sentido del reloj o en sentido contrario al reloj)
2- Quedan 3 opciones para seleccionar el segundo
vértice, luego quedan 2 opciones para seleccionar el
tercer vértice y, por supuesto, solo queda una opción de
selección para el cuarto vértice.
3- Así pues, el número de permutaciones circulares,
denotado por (4 – 1) P (4 – 1), se obtiene por el
producto de las opciones de selección en cada
posición:
Reseñarse que (n – 1)! es conocida
como n factorial y abrevia el producto de
todos los números desde el número (n – 1)
hasta el número uno, ambos incluidos.
Ejemplo 1
¿Cuántas formas distintas tienen 6 personas de sentarse
a una mesa circular?
Se quiere hallar el número de formas distintas en que 6
personas pueden sentarse alrededor de una mesa
redonda.
N° de formas de sentarse = (6 – 1) P (6 – 1) = (6 –
1)!
N° de formas de sentarse = 5*4*3*2*1 = 120 formas
distintas
Ejemplo 2
¿Cuántas formas distintas tienen 5 personas de ubicarse
en los vértices de un pentágono?
Se busca el número de formas en que 5 personas pueden
ubicarse en cada uno de los vértices de un
pentágono.
N° de formas de ubicarse = (5 – 1)P(5 – 1)
= (5 – 1)!
N° de formas de ubicarse = 4*3*2*1
= 24 formas distintas
PROBABILIDAD CLASICA
La probabilidad clásica es un caso particular del cálculo de la
probabilidad de un evento. Se define como el
cociente entre los eventos favorables a dicho evento y
el total de eventos posibles, con la condición de que
cada uno de estos eventos sean todos igualmente
probables. A la probabilidad clásica también se la
conoce como probabilidad a priori o probabilidad
teórica.
El deseo de anticipar las cosas forma parte de la
naturaleza humana en todas las épocas: todos nos
preguntamos si lloverá al día siguiente o si determinado
equipo de fútbol jugará o no en la primera división la
próxima temporada. Existe evidencia arqueológica de
que las personas jugaban juegos de azar hace unos 40.000
años.
EJEMPLO:
De un grupo de 80 estudiantes de la Facultad de
Ciencias, 18 estudian física, 24 estudian matemática y
38 química. La probabilidad de que un estudiante
seleccionado al azar estudie matemática es de 24/80 =
0.3 o 30%.
Obtener cara en el lanzamiento de una moneda
La probabilidad de obtener una cara en un lanzamiento de moneda honrada es 1/2
Una moneda tiene dos caras, y suponiendo que al lanzarla no quedará sobre el borde estrecho, caerá con la cara o el sello hacia arriba. Cualquiera de las dos posibilidades es igualmente probable, por lo que la probabilidad de obtener una cara es igual a la de obtener un sello: ½.
La estructura de la matriz de insumo producto es la de una tabla de doble entrada. En las filas se puede observar la producción generada por las distintas actividades económicas (por ejemplo: pesca, construcción, ganadería, etc.). En las columnas en tanto, podemos observar el uso intermedio y final de los bienes y servicios. Cabe notar que el uso final incluye el consumo, la inversión y las exportaciones.
Al observar las columnas por actividad económica podemos encontrar su estructura de costos desagregando por producción bruta, consumo intermedio y valor agregado.
En la siguiente figura vemos un esquema simplificado de la estructura de la Matriz insumo-producto:
Por qué es necesario elaborar una matriz de insumo-producto
Existen principalmente dos razones por las cuales es necesario elaborar una matriz insumo-producto cada cierto número de años:
Para realizar mediciones de la actividad económica (como por ejemplo el Producto Interior Bruto (PIB) por actividad económica, gasto e Inversión) de manera más precisa.
Para poder hacer estimaciones a precios constantes (valor real) y obtener un sistema de precios relativos coherente.
Con el paso del tiempo, la economía va cambiando debido a diversos factores tales como la introducción de nuevas tecnologías, cambios en el comportamiento del consumidor, desaparición y entrada de nuevos productos, nuevas tendencias empresariales, entre otros. De esta forma, se hace necesario actualizar cada cierto tiempo la fotografía que tenemos de la economía, siendo de particular importancia actualizar las funciones de producción y los precios relativos.
Si nos encontramos en un entorno cambiante, mientras más nos alejemos del año base (en donde se hace la matriz de insumo producto), menor exactitud tendrá la medición de la economía a precios constantes.
En el presente ejemplo veremos la forma en la que podemos aplicar el método de asignación, esto se puede realizar siguiendo los pasos que se mostraran a continuación para poder llegar al resultado final.
PROBLEMA
I.La
compañía de manufactura "Jiménez y Asociados" desea realizar una
jornada de mantenimiento preventivo a sus tres máquinas principales A, B y C.
El tiempo que demanda realizar el mantenimiento de cada máquina es de 1 día,
sin embargo la jornada de mantenimiento no puede durar más de un día, teniendo
en cuenta que la compañía cuenta con tres proveedores de servicios de
mantenimiento debe de asignarse un equipo de mantenimiento a cada máquina para
poder cumplir con la realización del mantenimiento preventivo. Teniendo en
cuenta que según el grado de especialización de cada equipo prestador de
servicios de mantenimiento el costo de la tarea varía para cada máquina en
particular, debe de asignarse el equipo correcto a la máquina indicada con el
objetivo de minimizar el costo total de la jornada. Los costos asociados se
pueden observar en la siguiente tabla:
Solución:
Paso 1: Encontramos
el menor elemento de cada columna y restarlo de la columna respectiva.
-En la columna de la Máquina 1, el menor elemento
es 6.
-En la columna de la Máquina 2, el menor elemento
es 4
-En la columna de la Máquina 3, el menor elemento
es 3.
Máquina
1
Máquina
2
Máquina
3
Equipo de
Mantenimiento 1
4
5
2
Equipo de
Mantenimiento 2
3
4
0
Equipo de
Mantenimiento 3
0
0
4
Encontramos el menor elemento de cada fila en la matriz
resultante y restarlo de la fila respectiva.
-En la fila 1, el menor elemento es 2.
-En la fila 2, el menor elemento es 0.
-En la fila 3, el menor elemento es 0.
Máquina
1
Máquina
2
Máquina
3
Equipo de
Mantenimiento 1
2
3
0
Equipo de
Mantenimiento 2
3
4
0
Equipo de
Mantenimiento 3
0
0
4
Paso 2:
Hacemos las asignaciones iniciando
por la fila que tenga menos ceros y tachando los ceros de las fila y columna
donde hicimos la asignación.
Máquina
1
Máquina
2
Máquina
3
Equipo de
Mantenimiento 1
2
3
0
Equipo de
Mantenimiento 2
3
4
0
Equipo de
Mantenimiento 3
0
0
4
Pude ver que solo hicimos dos
asignaciones, pero debimos haber hecho tres, por lo que no logramos la solución
óptima y pasamos al paso 3.
Marcamos con * las filas 1 y 2 y la
columna 3. De acuerdo al algoritmo de Húngaro.
Paso 4: El menor
elemento de los no atravesados en la matriz es: 2
-Se lo restamos a
todos los elementos de las filas no atravesadas.
-Se lo sumamos a
todos los elementos de las columnas atravesadas.
*
Hacemos nuevamente las asignaciones
empezando por las filas que tengan menos ceros.
Máquina
1
Máquina
2
Máquina
3
Equipo de
Mantenimiento 1
0
1
0
Equipo de
Mantenimiento 2
1
2
0
Equipo de
Mantenimiento 3
0
0
5
El orden en que asignamos es el
siguiente:
-Primero asignamos el equipo 2 a la
Máquina 3 y tachamos el cero que hay en la columna de la Máquina 3.
-Segundo asignamos el Equipo 1 a la
Máquina 1 y tachamos el cero que hay en la columna de la Máquina 1.
-Tercero asignamos el Equipo 3 a la
Máquina 1.
Por ende la asignación que representa el
menor costo para la jornada de mantenimiento preventivo determina que el Equipo
1 realice el mantenimiento de la Máquina 1, el Equipo 2 realice el
mantenimiento de la Máquina 3 y el Equipo 3 realice el mantenimiento de la
Máquina 2, jornada que tendrá un costo total de 17 unidades monetarias.
II.Se
desea asignar 4 máquinas a 4 lugares posibles. A continuación se presentan los
costos asociados.
Maquina\Lugar
1
2
3
4
1
3
5
3
3
2
5
14
10
10
3
12
6
19
17
4
2
17
10
12
Paso 1:
Al igual que en el ejemplo anterior restamos cada columna del menor elemento y
luego con la matriz resultante hacemos
lo mismo pero por fila. La matriz resulta como se muestra.
Maquina\Lugar
1
2
3
4
1
1
0
0
0
2
0
6
4
4
3
9
0
15
13
4
0
12
7
9
Paso 2:
Ahora a la matriz resultante hacemos las asignaciones.
Máquina\Lugar
1
2
3
4
1
1
0
0
0
2
0
6
4
4
3
9
0
15
13
4
0
12
7
9
Puede ver que solo logramos hacer
tres asignaciones no logramos asignar la Máquina 4 por lo que no alcanzamos el
óptimo.
Paso 3:
a)Marcar con un * todas la filas que no contengan
ceros asignados.
Máquina\Lugar
1
2
3
4
1
1
0
0
0
2
0
6
4
4
3
9
0
15
13
4
0
12
7
9
*
b)Marcar con * todas las columnas que contengan
uno o más ceros cancelados en alguna
fila marcada. *
Máquina\Lugar
1
2
3
4
1
1
0
0
0
2
0
6
4
4
3
9
0
15
13
4
0
12
7
9
*
c)Marcar toda fila que tenga unos cero asignados en
una columna marcada.
*
Máquina\Lugar
1
2
3
4
1
1
0
0
0
2
0
6
4
4
3
9
0
15
13
4
0
12
7
9
d)No hay más
e)Poner un trazo (línea) sobre toda fila no
marcada y sobre toda columna marcada.
*
4.El menor número es 4.
Hacemos nuevamente las
asignaciones:
Hemos alcanzado el Óptimo pues hay 4 asignaciones:
•Máquina 1 a lugar 3 -à 3
•Máquina 2 a lugar 4 --à 10
•Máquina 3 a lugar 2 -à 6
•Máquina 4 a lugar 1 -à 2
Para un total de 20.
Ejemplo 2:
Es necesario un segundo ejemplo para mostrar qué sucede cuando no es posible realizar una asignación óptima inmediata.
Consideremos el problema descrito en el primer ejemplo, pero hemos agregado un cuarto operador y la operación de embalaje. La siguiente tabla muestra los tiempos en minutos que le toma a cada operador realizar cada una de las cuatro operaciones:
Operador
Fresado
Rectificado
Ensamblado
Embalaje
1
32
19
29
8
2
26
25
20
3
3
36
28
26
3
4
39
22
32
8
Paso 1: Ordenamos la información en una tabla e identificamos el valor mínimo de cada fila.
Hemos subrayado los tiempos mínimos en cada una de las filas.
Paso 2. Los valores mínimos que hemos identificado en el paso anterior se restan de todos los valores en su correspondiente fila e identificamos el valor mínimo de cada columna.
Nuevamente, hemos identificado los tiempos mínimos subrayándolos.
Paso 3. Restamos los tiempos mínimos identificados en el paso anterior de todos los valores en su correspondiente columna.
Paso 4. Ahora vamos a cubrir todos los ceros que aparecen en la tabla con la menor cantidad de líneas verticales y horizontales que sea posible.
Si el número de líneas es exactamente igual al número de filas o columnas es posible realizar una asignación óptima.
Hemos utilizado tres líneas para cubrir todos los ceros que aparecen en la tabla y tenemos cuatro filas o cuatro columnas. No podemos realizar la asignación óptima, pero identificamos el tiempo mínimo no cubierto.
El tiempo mínimo no cubierto por ninguna línea es 3, corresponde al tiempo que tarda el cuarto operador en el rectificado.
Paso 5: Restamos el valor identificado en el paso anterior de todos los tiempos no cubiertos y, lo sumamos a todos los tiempos cubiertos por dos líneas.
Paso 6: Repetimos el paso 4 en busca del menor número de líneas con que podemos cubrir todos los ceros.
Nuevamente, hemos utilizado tres líneas para cubrir todos los ceros que aparecen en la tabla y tenemos cuatro filas o cuatro columnas. No podemos realizar la asignación óptima. Identificamos el tiempo mínimo no cubierto subrayándolo.
Paso 7: Repetimos el paso 5, es decir, restamos el valor identificado en el paso anterior de todos los tiempos no cubiertos y, lo sumamos a todos los tiempos cubiertos por dos líneas.
Paso 8: Repetimos los pasos 4 y 6 en busca del menor número de líneas con que podemos cubrir todos los ceros.
Podemos realizar la asignación óptima dado que tenemos tantas líneas como filas o columnas.
Paso 9: Buscamos un cero único en una fila o columna para realizar la primera asignación.
Asignamos el operador 3 a embalaje. Además, cancelamos la tercera fila y cuarta columna porque el operador 3 y embalaje han sido asignados, respectivamente.
Paso 10: Buscamos un cero único en una fila o columna para realizar la segunda asignación.
Asignamos el operador 4 a rectificado. Además, cancelamos la cuarta fila y segunda columna porque el operador 4 y rectificado han sido asignados, respectivamente.
Paso 11: Buscamos un cero único en una fila o columna para realizar la tercera asignación.
Asignamos el operador 2 a ensamblado. Además, cancelamos la segunda fila y tercera columna porque el operador 2 y ensamblado han sido asignados, respectivamente.
Paso 12: En este punto solamente podemos asignar al operador 1 a fresado.
Paso 13. Calcular el valor óptimo de la asignación.
Ya que conocemos las asignaciones podemos calcular el tiempo mínimo. Sabemos que:
El operador 1 se asignó a fresado y tarda 32 minutos
El operador 2 se asignó a ensamblado y tarda 20 minutos
El operador 3 se asignó a embalaje y tarda 3 minutos
El operador 4 se asignó a rectificado y tarda 22 minutos
El tiempo mínimo se calcula sumando todos los tiempos de la asignación:
