El análisis combinatorio es un área de la cual se encargan las
matemáticas discretas y se refiere a la construcción de posibles agrupaciones de númerosque permitan satisfacer una condición establecida. Permutaciones
Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser
"333".
Sin repetición: por ejemplo, los tres primeros en una carrera.
No puedes quedar primero y segundo a la vez.
1. Permutaciones con repetición Son las más fáciles de calcular. (n multiplicado 3 veces)
El estudio combinatorio permite el cálculo certero para la extracción
objetiva y aleatoria de muestras en una determinada población y que los
datos sean lo suficientemente relevantes para satisfacer o refutar la
teoría expuesta desde un inicio, en otras palabras, conforma un pilar fundamental en el método científico en el cual se rigen todas las disciplinas científicas en la
actualidad.
Hay dos tipos de permutaciones:
Cuando una cosa tiene n tipos diferentes ... ¡tenemos n opciones cada vez!
Por ejemplo: eligiendo 3 de esas cosas, las permutaciones son:
n × n × n
De manera más general: eligiendo r de algo que tiene n tipos diferentes, las permutaciones son:
n × n × ... (r veces)
(Porque hay n posibilidades para la primera elección,
DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y
así.)
Lo cual es más fácil de escribir usando unexponenteigual ar:
Ejemplo: en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir
(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) y eliges 3 de ellos:
donde n es el número de cosas se pueden elegir, y se
escogen r de ellas, se permite que se repitan y el orden
importa.
2. Permutaciones sin repetición
En este caso, se reduce el número de opciones
en cada paso.
Ejemplo: ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar?
Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra
vez.
Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu
siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc.
Y el total de permutaciones sería:
16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no quieres elegirlas
todas, solo 3 de ellas, así que sería
solamente:
16 × 15 × 14 = 3,360
Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de
billar de entre 16.
Sin repetición, nuestras opciones se reducen cada
vez.
¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos
la "función factorial"
!
La función factorial (símbolo:!)
significa que se multiplican números descendentes.
Ejemplos:
4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5,040
1! = 1
Nota: ¡en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún
número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas
ecuaciones.
Así que si quieres elegir todas las bolas de
billar las permutaciones serían:
16! = 20,922,789,888,000
Pero si solo quieres elegir 3, tienes que dejar de
multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? ¡Hay un buen
truco... dividimos entre 13!...
Ejemplo: ¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo
premio entre 10 personas?
10!(10−2)! = 10!8! = 3,628,80040,320 = 90
(que es lo mismo que: 10 × 9 = 90)
Notación
En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras
notaciones como:
P(n,r)
= nPr = nPr = n!(n−r)!
Ejemplos:
P(10,2) = 90
10P2 = 90
10P2 = 90
Combinaciones
También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que
ahora el orden no importa):
Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo
(5,5,5,10,10)
Sin repetición: como números de lotería
(2,14,15,27,30,33)
1. Combinaciones con repetición
En realidad son las más difíciles de explicar, así que
las dejamos para luego.
2. Combinaciones sin repetición
Así es como funcionan las loterías. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los
números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has
ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
imaginemos que el orden sí importa
(permutaciones),
después lo cambiamos para que el
orden no importe.
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos
saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no
nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3.
Las posibilidades son:
El orden importa
El orden no importa
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1
2 3 2 1
1 2 3
Así que las permutaciones son 6 veces más
posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras
"1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta
es:
3!= 3 × 2 × 1 = 6
(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar
de 4!= 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así que solo tenemos que ajustar nuestra fórmula de
permutaciones para reducir por las
maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos
interesa ordenarlos):
n!(n−r)! x 1r! = n!r!(n−r)!
Esta fórmula es tan importante que normalmente se la
escribe con grandes paréntesis, así:
n!r!(n−r)! = (nr)
donde n es el número de cosas que puedes elegir, y
eliges r de ellas (No se puede repetir, el
orden no importa)
Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin
orden) es:
16!3!(16−3)!
= 16!3! × 13!
= 20,922,789,888,0006 × 6,227,020,800
= 560
Fíjate que la fórmula16!3! × 13! da la misma respuesta que 16!13! × 3!
Entonces, elegir 3 bolas de 16, o elegir 13 bolas de
16, tiene el mismo número de combinaciones:
16!3!(16−3)! = 16!13!(16−13)! = 16!3! × 13! = 560
De hecho, la fórmula es bonita y simétrica:
n!r!(n−r)! = (nr) = (nn−r)
Además, sabiendo que 16!/13! se reduce a 16 × 15 × 14, podemos ahorrar muchos
cálculos haciéndolo de esta manera:
16×15×143×2×1
= 33606
= 560
Triángulo de Pascal
Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de
arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese
valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila
16:
Las permutaciones circulares son diferentes tipos de agrupaciones de todos los
elementos de un conjunto, cuando estos han de ordenarse en
círculos. En este tipo de permutación importa el orden y
no se repiten los elementos.
1- Se toma cualquiera de los cuatro dígitos como punto
de partida en cualquiera de los vértices y se avanza al
vértice siguiente. (es indiferente si se gira en el
sentido del reloj o en sentido contrario al reloj)
2- Quedan 3 opciones para seleccionar el segundo
vértice, luego quedan 2 opciones para seleccionar el
tercer vértice y, por supuesto, solo queda una opción de
selección para el cuarto vértice.
3- Así pues, el número de permutaciones circulares,
denotado por (4 – 1) P (4 – 1), se obtiene por el
producto de las opciones de selección en cada
posición:
Reseñarse que (n – 1)! es conocida
como n factorial y abrevia el producto de
todos los números desde el número (n – 1)
hasta el número uno, ambos incluidos.
Ejemplo 1
¿Cuántas formas distintas tienen 6 personas de sentarse
a una mesa circular?
Se quiere hallar el número de formas distintas en que 6
personas pueden sentarse alrededor de una mesa
redonda.
N° de formas de sentarse = (6 – 1) P (6 – 1) = (6 –
1)!
N° de formas de sentarse = 5*4*3*2*1 = 120 formas
distintas
Ejemplo 2
¿Cuántas formas distintas tienen 5 personas de ubicarse
en los vértices de un pentágono?
Se busca el número de formas en que 5 personas pueden
ubicarse en cada uno de los vértices de un
pentágono.
N° de formas de ubicarse = (5 – 1)P(5 – 1)
= (5 – 1)!
N° de formas de ubicarse = 4*3*2*1
= 24 formas distintas
PROBABILIDAD CLASICA
La probabilidad clásica es un caso particular del cálculo de la
probabilidad de un evento. Se define como el
cociente entre los eventos favorables a dicho evento y
el total de eventos posibles, con la condición de que
cada uno de estos eventos sean todos igualmente
probables. A la probabilidad clásica también se la
conoce como probabilidad a priori o probabilidad
teórica.
El deseo de anticipar las cosas forma parte de la
naturaleza humana en todas las épocas: todos nos
preguntamos si lloverá al día siguiente o si determinado
equipo de fútbol jugará o no en la primera división la
próxima temporada. Existe evidencia arqueológica de
que las personas jugaban juegos de azar hace unos 40.000
años.
EJEMPLO:
De un grupo de 80 estudiantes de la Facultad de
Ciencias, 18 estudian física, 24 estudian matemática y
38 química. La probabilidad de que un estudiante
seleccionado al azar estudie matemática es de 24/80 =
0.3 o 30%.
Obtener cara en el lanzamiento de una moneda
La probabilidad de obtener una cara en un lanzamiento de moneda honrada es 1/2
Una moneda tiene dos caras, y suponiendo que al lanzarla no quedará sobre el borde estrecho, caerá con la cara o el sello hacia arriba. Cualquiera de las dos posibilidades es igualmente probable, por lo que la probabilidad de obtener una cara es igual a la de obtener un sello: ½.
