DETERMINANTE REGLA DE CRAMER SEMANA No 4

¿Qué es la regla de Cramer?

 La regla de Cramer es un método que se utiliza para resolver sistemas de ecuaciones por determinantes. Veamos cómo se utiliza:

Dado un sistema de ecuaciones:

La matriz A y la matriz ampliada A’ del sistema son:

                                               La regla de Cramer dice que la solución de un sistema de ecuaciones es:

los determinantes de los numeradores son como el determinante de la matriz A pero cambiando la columna de cada incógnita por la columna de los términos independientes.

SEMANA No. 3 SISTEMAS DE ECUACIONES

 Sistemas de ecuaciones Inversa 3×3

Un sistema de ecuaciones 3×3 es un sistema formado por tres ecuaciones con tres variables. Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones 3×3, como la representación gráfica, la sustitución y la eliminación Gaussiana.

Para poder determinar el tipo de un sistema de ecuaciones lineales, o lo que es lo mimo, si un sistema de ecuaciones tiene solución, debemos tener claro qué es la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada.

Vamos a verlo en el siguiente sistema:

En primer lugar debemos distinguir entre la matriz de los coeficientes, que llamaremos la matriz A y la matriz ampliada, que llamaremos la matriz A*.

Qué es la matriz de los coeficientes

La matriz de los coeficientes, la matriz A, es la que está formada por los coeficientes que están multiplicando a las incógnitas.

Para el sistema del ejemplo, la matriz A de los coeficientes es:

Date cuenta de que las incógnitas están en orden: primero las x, después las y y después las z.

Además, si falta alguna incógnita en alguna ecuación, tendrá como coeficiente un cero.

Qué es la matriz ampliada

La matriz ampliada, la matriz A* se forma añadiéndole una columna a la derecha de la matriz de los coeficientes, cuyos elementos lo formarán los términos que están en el segundo miembro de cada ecuación

La matriz ampliada de nuestro sistema es:

SEMANA No. 2 10 DE FEBRERO DEL 2024

 MULTIPLICACIONES DE MATRICES

Se puede multiplicar una matriz por otra matriz sólo cuando el número de las columnas de la primera matriz equivale al número de las filas de la segunda matriz.

Propiedades de multiplicación de matrices

• (A · B) · C= A · (B · C) - el producto de matrices es asociativo;
• (z · A) · B= z · (A · B), donde z - es un número;
• A · (B + C) = A · B + A · C - el producto de matrices es distributivo;
• E_n · A_nm = A_nm · E_m= A_nm - multiplicación por una matriz identidad;
• A · B ≠ B · A - el producto de dos matrices generalmente no es conmutativo.
• El producto de dos matrices es tal matriz que tiene el mismo número de filas que el factor izquierdo y también el mismo número de columnas que el factor derecho.

Para calcular una multiplicación de matrices se deben multiplicar las filas de la matriz de la izquierda por las columnas de la matriz de la derecha.

Por tanto, primero tenemos que multiplicar la primera fila por la primera columna. Para ello, multiplicamos uno a uno cada elemento de la primera fila por cada elemento de la primera columna, y sumamos los resultados. De manera que todo esto será el primer elemento de la primera fila de la matriz resultante. Fíjate en el procedimiento:

1⋅3 + 2⋅4 = 3 + 8 = 11. Por tanto:

Ahora nos toca multiplicar la primera fila por la segunda columna. Así que repetimos el procedimiento: multiplicamos uno a uno cada elemento de la primera fila por cada elemento de la segunda columna, y sumamos los resultados. Y todo esto será el segundo elemento de la primera fila de la matriz resultante:

1⋅5 + 2⋅1 = 5 + 2 = 7. Por tanto:

Una vez tenemos la primera fila de la matriz resultante llena, pasamos a la segunda fila. Así que multiplicamos la segunda fila por la primera columna repitiendo el procedimiento: multiplicamos uno a uno cada elemento de la segunda fila por cada elemento de la primera columna, y sumamos los resultados:

-3⋅3 + 0⋅4 = -9 + 0 = -9. Por tanto:

Por último, multiplicamos la segunda fila por la segunda columna. Siempre con el mismo procedimiento: multiplicamos uno a uno cada elemento de la segunda fila por cada elemento de la segunda columna, y sumamos los resultados:

-3⋅5 + 0⋅1 = -15 + 0 = -15. Por tanto:

Y aquí termina la multiplicación de las dos matrices. Como has visto, se tienen que multiplicar las filas por las columnas repitiendo siempre el mismo procedimiento: multiplicamos uno a uno cada elemento de la fila por cada elemento de la columna, y sumamos los resultados.

Multiplicar matrices 3x3

A continuación un ejemplo en el que se puede ver cómo se multiplican matrices 3x3:

METODO DE MATRICES PARA SOLUCION DE ECUACIONES

Supongamos que tenemos un sistema de $n$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas. Podemos representar el sistema de forma matricial como

donde

• La matriz $A$ es de dimensión $nxn$ y contiene en cada fila los coeficientes de las incógnitas de cada ecuación.
• La matriz $x$ es de dimensión $nx1$ (una columna) y contiene las $n$ incógnitas del sistema.
• La matriz $b$ es de dimensión $nx1$ y contiene los términos independientes de las ecuaciones.

Si el sistema tiene una única solución (es compatible determinado), entonces la matriz $A$ es regular (determinante distinto de 0) y, por tanto, existe su matriz inversa $A^{-1}$.

Entonces, podemos multiplicar toda la ecuación por la inversa de $A^{-1}$:

Es decir, si la matriz $A$ es regular, entonces la matriz columna resultante del producto matricial $A^{-1}\cdot b$ contiene la solución del sistema $Ax=b$.

PRIMERA SEMANA CONCEPTO DE MATRICES

 MATRICES MATEMATICOS

¿QUE ES UNA MATRIZ?

Una matriz es un conjunto de números o expresiones ordenados en forma de filas y columnas formando una matriz rectangular. 

MATRIZ

El tamaño de una matriz se da por el número de filas y columnas, donde puede tener “m” cantidad de filas y “n” cantidad de columnas y se le denomina matriz m-por-n (escrito m x n), donde m, n Î y se representa como M_mxn (K). Donde (K) es el campo al que pertenecen las entradas.

TIPOS DE MATRICES

• Matriz fila: es aquella que está formada por una sola fila. Por ejemplo; 
• Matriz columna: es una matriz que tiene una sola columna. Se tiene el ejemplo de: 

Matriz rectangular: tiene distinto número de filas que de columnas (m ≠ n), siendo su dimensión mxn. Un ejemplo de este tipo de matriz es: 

Matriz traspuesta: se llama matriz traspuesta de a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas (o viceversa) de una matriz dada.

Matriz nula: es una matriz donde todos sus elementos son 0.

Matriz cuadrada: cuando una matriz tiene el mismo número de filas y columnas se conoce como matriz cuadrada. Para este caso m = n, En este caso, la dimensión se denomina orden, cuyo valor coincide con el número de filas y de columnas.

Como se muestra en el ejemplo la matriz es de orden 2, por tener 2 filas y dos columnas.  

PRINCIPALES TIPOS DE MATRICES CUADRADAS

Matriz triangular superior: en este tipo de matriz los ceros forman un triángulo ubicándose por debajo de la diagonal principal. 

Matriz triangular inferior: para este caso los ceros forman un triángulo ubicándose por encima de la diagonal principal. 

Matriz diagonal: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no estén situados en la diagonal principal son ceros. En el ejemplo mostrado, los números 2, 4, 2; están ubicados en la diagonal principal de la matriz y los 0 se ubican por encima y debajo de ellos. Se tiene que 

Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales. 

Matriz Identidad (o Unidad) es una matriz cuadrada llena de ceros (0) excepto en la diagonal principal, donde todos los elementos son unos (1).

Operaciones con matrices

Suma de matrices  

Dadas dos o más matrices del mismo orden, el resultado de la suma es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como suma de los elementos colocados en el mismo lugar de los matrices sumandos.

Ejemplo:

A) Propiedad Asociativa:

A+ (B+C) = (A+B) +C 

ELEMENTO NEUTRO

A+0 = A

ELEMENTO OPUESTO

A+ (-A) = 0

PROPIEDAD CONMUTATIVA

Da lo mismo al sumar

A+B = B+A

En la clase de hoy explicaremos las operaciones con matrices con teoría y ejemplos.

Una matriz real de orden  m x n siendo m y n números naturales es un conjunto de m x n números distribuidos en “m” filas y “n” columnas. Veamos los siguientes ejemplos:

Una matriz cuadrada de dos filas y 2 columnas:

La matriz de tres filas y dos columnas:

Ejemplo de matriz de 3 filas y 4 columnas:

Debemos saber que los números que componen una matriz se denominan elementos. Estos se suelen representar por la expresión  aij donde “i” representa la fila y “j” la columna en la que se encuentra. Por ejemplo:

¿Cuándo dos matrices son iguales?

Dos matrices son iguales si tienen el mismo orden y además los elementos colocados en el mismo lugar valen lo mismo.

Son iguales si:

a= 1, b= 3, c=4 y d= -1

Operaciones con matrices

Suma de matrices  

 Dadas dos o más matrices del mismo orden, el resultado de la suma es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como suma de los elementos colocados en el mismo lugar de los matrices sumandos.

Ejemplo:

Resta de matrices  

Dadas dos o más matrices del mismo orden, el resultado de la resta es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como la resta de los elementos colocados en el mismo lugar de los matrices sumandos.

Ejemplo: