SEMANA No. 2 10 DE FEBRERO DEL 2024

 MULTIPLICACIONES DE MATRICES

Se puede multiplicar una matriz por otra matriz sólo cuando el número de las columnas de la primera matriz equivale al número de las filas de la segunda matriz.

Propiedades de multiplicación de matrices

• (A · B) · C= A · (B · C) - el producto de matrices es asociativo;
• (z · A) · B= z · (A · B), donde z - es un número;
• A · (B + C) = A · B + A · C - el producto de matrices es distributivo;
• E_n · A_nm = A_nm · E_m= A_nm - multiplicación por una matriz identidad;
• A · B ≠ B · A - el producto de dos matrices generalmente no es conmutativo.
• El producto de dos matrices es tal matriz que tiene el mismo número de filas que el factor izquierdo y también el mismo número de columnas que el factor derecho.

Para calcular una multiplicación de matrices se deben multiplicar las filas de la matriz de la izquierda por las columnas de la matriz de la derecha.

Por tanto, primero tenemos que multiplicar la primera fila por la primera columna. Para ello, multiplicamos uno a uno cada elemento de la primera fila por cada elemento de la primera columna, y sumamos los resultados. De manera que todo esto será el primer elemento de la primera fila de la matriz resultante. Fíjate en el procedimiento:

1⋅3 + 2⋅4 = 3 + 8 = 11. Por tanto:

Ahora nos toca multiplicar la primera fila por la segunda columna. Así que repetimos el procedimiento: multiplicamos uno a uno cada elemento de la primera fila por cada elemento de la segunda columna, y sumamos los resultados. Y todo esto será el segundo elemento de la primera fila de la matriz resultante:

1⋅5 + 2⋅1 = 5 + 2 = 7. Por tanto:

Una vez tenemos la primera fila de la matriz resultante llena, pasamos a la segunda fila. Así que multiplicamos la segunda fila por la primera columna repitiendo el procedimiento: multiplicamos uno a uno cada elemento de la segunda fila por cada elemento de la primera columna, y sumamos los resultados:

-3⋅3 + 0⋅4 = -9 + 0 = -9. Por tanto:

Por último, multiplicamos la segunda fila por la segunda columna. Siempre con el mismo procedimiento: multiplicamos uno a uno cada elemento de la segunda fila por cada elemento de la segunda columna, y sumamos los resultados:

-3⋅5 + 0⋅1 = -15 + 0 = -15. Por tanto:

Y aquí termina la multiplicación de las dos matrices. Como has visto, se tienen que multiplicar las filas por las columnas repitiendo siempre el mismo procedimiento: multiplicamos uno a uno cada elemento de la fila por cada elemento de la columna, y sumamos los resultados.

Multiplicar matrices 3x3

A continuación un ejemplo en el que se puede ver cómo se multiplican matrices 3x3:

METODO DE MATRICES PARA SOLUCION DE ECUACIONES

Supongamos que tenemos un sistema de $n$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas. Podemos representar el sistema de forma matricial como

donde

• La matriz $A$ es de dimensión $nxn$ y contiene en cada fila los coeficientes de las incógnitas de cada ecuación.
• La matriz $x$ es de dimensión $nx1$ (una columna) y contiene las $n$ incógnitas del sistema.
• La matriz $b$ es de dimensión $nx1$ y contiene los términos independientes de las ecuaciones.

Si el sistema tiene una única solución (es compatible determinado), entonces la matriz $A$ es regular (determinante distinto de 0) y, por tanto, existe su matriz inversa $A^{-1}$.

Entonces, podemos multiplicar toda la ecuación por la inversa de $A^{-1}$:

Es decir, si la matriz $A$ es regular, entonces la matriz columna resultante del producto matricial $A^{-1}\cdot b$ contiene la solución del sistema $Ax=b$.