ANALISIS COMBINATORIO 11 DE MAYO 2024

 ANALISIS COMBINATORIO

El análisis combinatorio es un área de la cual se encargan las matemáticas discretas y se refiere a la construcción de posibles agrupaciones de números que permitan satisfacer una condición establecida.
Permutaciones

1. Se permite repetir: como la cerradura de arriba, podría ser "333".

1. Sin repetición: por ejemplo, los tres primeros en una carrera. No puedes quedar primero y segundo a la vez.

1. Permutaciones con repetición
Son las más fáciles de calcular.
(n multiplicado 3 veces)

El estudio combinatorio permite el cálculo certero para la extracción objetiva y aleatoria de muestras en una determinada población y que los datos sean lo suficientemente relevantes para satisfacer o refutar la teoría expuesta desde un inicio, en otras palabras, conforma un pilar fundamental en el método científico en el cual se rigen todas las disciplinas científicas en la actualidad.

Hay dos tipos de permutaciones:

 

Cuando una cosa tiene n tipos diferentes ... ¡tenemos n opciones cada vez!

Por ejemplo: eligiendo 3 de esas cosas, las permutaciones son:

n × n × n

De manera más general: eligiendo r de algo que tiene n tipos diferentes, las permutaciones son:

n × n × ... (r veces)

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así.)

Lo cual es más fácil de escribir usando un exponente igual a r: 

Ejemplo: en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) y eliges 3 de ellos:

10 × 10 × ... (3 veces) = 10³ = 1,000 permutaciones

Entonces, la fórmula es simplemente:

nr

donde n es el número de cosas se pueden elegir, y se escogen r de ellas, se permite que se repitan y el orden importa.                                                                                                                    2. Permutaciones sin repetición En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso. Ejemplo: ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir por ejemplo la "14" no puedes elegirla otra vez. Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería: 16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000   Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, solo 3 de ellas, así que sería solamente: 16 × 15 × 14 = 3,360 Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16. Sin repetición, nuestras opciones se reducen cada vez. ¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la "función factorial" ! La función factorial (símbolo:!) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos: 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5,040 1! = 1 Nota: ¡en general se está de acuerdo en que 0! = 1. Puede que parezca curioso que no multiplicar ningún número dé 1, pero ayuda a simplificar muchas ecuaciones. Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían: 16! = 20,922,789,888,000 Pero si solo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14. ¿Cómo lo escribimos? ¡Hay un buen truco... dividimos entre 13!... 16 × 15 × 14 × 13 × 12 × ...13 × 12 × ...  = 16 × 15 × 14 Eso fue genial: el 13 × 12 × ... etc se "cancela", dejando solo 16 × 15 × 14. La fórmula se escribe así: n!(n − r)! donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir, el orden importa) Ejemplo: nuestro "ejemplo de elegir en orden 3 bolas de 16" sería: 16!(16−3)! = 16!13! = 20,922,789,888,0006,227,020,800 = 3,360 (que es lo mismo que: 16 × 15 × 14 = 3,360) Ejemplo: ¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas? 10!(10−2)! = 10!8! = 3,628,80040,320 = 90 (que es lo mismo que: 10 × 9 = 90) Notación En lugar de escribir toda la fórmula, la gente usa otras notaciones como: P(n,r) = nPr = nPr = n!(n−r)! Ejemplos: P(10,2) = 90 10P2 = 90 10P2 = 90 Combinaciones También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa): Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10) Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)   1. Combinaciones con repetición En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego. 2. Combinaciones sin repetición Así es como funcionan las loterías. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado! La manera más fácil de explicarlo es: imaginemos que el orden sí importa (permutaciones), después lo cambiamos para que el orden no importe. Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden. Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones. Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden. Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son: El orden importa El orden no importa 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 2 3 Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades. De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es: 3! = 3 × 2 × 1 = 6 (Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!) Así que solo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos): n!(n−r)! x 1r! = n!r!(n−r)! Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así: n!r!(n−r)! = (nr) donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (No se puede repetir,  el orden no importa) A menudo se le llama "n en r" (como "16 en 3") Y también se conoce como el Coeficiente binomial. Notación Todas estas notaciones significan "n en r": C(n,r) = nCr = nCr = (nr) = n!r!(n−r)!  Solo recuerda la fórmula: n!r!(n − r)! Ejemplo: Bolas de billar (sin orden) Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es: 16!3!(16−3)! = 16!3! × 13! = 20,922,789,888,0006 × 6,227,020,800 = 560 Fíjate que la fórmula 16!3! × 13! da la misma respuesta que 16!13! × 3! Entonces, elegir 3 bolas de 16, o elegir 13 bolas de 16, tiene el mismo número de combinaciones: 16!3!(16−3)! = 16!13!(16−13)! = 16!3! × 13! = 560 De hecho, la fórmula es bonita y simétrica: n!r!(n−r)! = (nr) = (nn−r) Además, sabiendo que 16!/13! se reduce a 16 × 15 × 14, podemos ahorrar muchos cálculos haciéndolo de esta manera: 16×15×143×2×1 = 33606 = 560 Triángulo de Pascal Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16: 1 14 91 364 ... 1 15 105 455 1365 ... 1 16 120 560 1820 4368 ... PERMUTACIONES CIRCULARES Las permutaciones circulares son diferentes tipos de agrupaciones de todos los elementos de un conjunto, cuando estos han de ordenarse en círculos. En este tipo de permutación importa el orden y no se repiten los elementos. 1- Se toma cualquiera de los cuatro dígitos como punto de partida en cualquiera de los vértices y se avanza al vértice siguiente. (es indiferente si se gira en el sentido del reloj o en sentido contrario al reloj) 2- Quedan 3 opciones para seleccionar el segundo vértice, luego quedan 2 opciones para seleccionar el tercer vértice y, por supuesto, solo queda una opción de selección para el cuarto vértice. 3- Así pues, el número de permutaciones circulares, denotado por (4 – 1) P (4 – 1), se obtiene por el producto de las opciones de selección en cada posición: (4 – 1) P(4 – 1) =  3*2*1 =  6 arreglos circulares distintos de 4 dígitos. De manera general, el número de permutaciones circulares que se pueden conseguir con todos los n elementos de un conjunto es: (n – 1) P(n – 1) = (n –  1)!  = (n – 1) (n – 2) …(2)(1) Reseñarse que (n  –  1)!  es conocida como  n  factorial y abrevia el producto de todos los números desde el número (n  –  1) hasta el número uno, ambos incluidos. Ejemplo 1 ¿Cuántas formas distintas tienen 6 personas de sentarse a una mesa circular? Se quiere hallar el número de formas distintas en que 6 personas pueden sentarse alrededor de una mesa redonda. N° de formas de sentarse = (6 – 1) P (6 – 1) = (6 – 1)! N° de formas de sentarse = 5*4*3*2*1 = 120 formas distintas Ejemplo 2 ¿Cuántas formas distintas tienen 5 personas de ubicarse en los vértices de un pentágono? Se busca el número de formas en que 5 personas pueden ubicarse en cada uno de los vértices de un pentágono. N° de formas de ubicarse =  (5 – 1)P(5 – 1)  =  (5 – 1)! N° de formas de ubicarse  =  4*3*2*1  =  24 formas distintas PROBABILIDAD CLASICA La probabilidad clásica es un caso particular del cálculo de la probabilidad de un evento. Se define como el cociente entre los eventos favorables a dicho evento y el total de eventos posibles, con la condición de que cada uno de estos eventos sean todos igualmente probables. A la probabilidad clásica también se la conoce como probabilidad a priori o probabilidad teórica. El deseo de anticipar las cosas forma parte de la naturaleza humana en todas las épocas: todos nos preguntamos si lloverá al día siguiente o si determinado equipo de fútbol jugará o no en la primera división la próxima temporada. Existe evidencia arqueológica de que las personas jugaban juegos de azar hace unos 40.000 años. EJEMPLO: De un grupo de 80 estudiantes de la Facultad de Ciencias, 18 estudian física, 24 estudian matemática y 38 química. La probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar estudie matemática es de 24/80 = 0.3 o 30%. Obtener cara en el lanzamiento de una moneda La probabilidad de obtener una cara en un lanzamiento de moneda honrada es 1/2 Una moneda tiene dos caras, y suponiendo que al lanzarla no quedará sobre el borde estrecho, caerá con la cara o el sello hacia arriba. Cualquiera de las dos posibilidades es igualmente probable, por lo que la probabilidad de obtener una cara es igual a la de obtener un sello: ½.